根号5是无理数吗

时间:2024-10-08 08:52:16编辑:路由君

根号5是无理数,常用的有2种方法来计算:(1)级数法。利用根号下(1+x)的泰勒展开式。(2)迭代算法。利用迭代公式:x0=a/2,x(n+1)=(xn+a/xn)/2。

证明过程

1、设根号下5不是无理数而是有理数,则设根号下5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)。

2、两边平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因数5,设p=5m,代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2,q^2含有因数5,即q有因数5。

4、这样p,q有公因数5,这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5、根号下5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,

所以,根号下5不是有理数而是无理数。

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