根号二是无理数吗

时间:2024-01-06 04:28:49编辑:路由君

根号2是无理数。证明根号2是无理数:如果√2是有理数,必有√2=p/q(p、q为互质的正整数),两边平方:2=p^/q^,p^=2q^。显然p为偶数,设p=2k(k为正整数),有:4k^=2q^,q^=2k^;显然q业为偶数,与p、q互质矛盾,所以假设不成立,√2是无理数。

什么是无理数

无理数,也称为无限不循环小数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e(其中后两者均为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

如何证明根号2是不是无理数

假设√2不是无理数,那它是有理数,

所以它可以表示成√2=p/q,其中p和q为互质的正整数,

所以2=p^2/q^2,所以p^2=2*q^2,

所以2能整除p^2,所以p^2是偶数,所以p是偶数,设p=2r,r是整数,

所以p^2=4*r^2=2*q^2,所以2*r^2=q^2,

所以2能整除q^2,所以q^2是偶数,所以q是偶数,

p、q都是偶数,与p和q互质矛盾,

所以假设错误,容所以√2是无理数。

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